Create by Martin Bernard

Bilangan Real

Referensi pertama

Tekan disini

Referensi kedua

Tekan disini

Referensi ketiga

Tekan disini

Sifat-sifat Aljabar R

(A1) sifat penjumlahan komutatif \[a+b=b+a,\forall{a,b}\in{R}\] (A2) sifat penjumlahan Asosiatif\[(a+b)+c=a+(b+c),\forall{a,b,c}\in{R}\] (A3) Sifat Penjumlahan Identitas\[\exists{0}\in{R},a+0=0+a=a,\forall{a}\in{R}\] (A4) Sifat Penjumlahan Invers\[\exists{-a}\in{R},a+(-a)=(-a)+a=0,\forall{a}\in{R}\] (M1) Sifat Perkalian Komutatif\[a\times{b}=b\times{a},\forall{a,b}\in{R}\] (M2) Sifat Perkalian Asosiatif\[\exists{1}\in{R},a\times{1}=1\times{a}=a\forall{a}\in{R}\] (M3) Sifat Perkalian Identitas\[(a\times{b})\times{c}=a\times{(b\times{c})},\forall{a,b,c}\in{R}\] (M4) Sifat Perkalian Invers\[\exists{a^{-1}}\in{R},a\times{a^{-1}}=a^{-1}\times{a}=1,\forall{a,b,c}\in{R}\] (D) Sifat Distribusi\[a\times{(b+c)}=(a\times{b})+(a\times{c}),\forall{a,b,c}\in{R}\]

Definisi dari pengurangan \[a-b=a+(-b)\]

Definisi dari Pembagian \[a\times{\frac{1}{b}}=\frac{1}{b}\times{a}=\frac{a}{b}\]

Definisi dari Perpangkatan \[a^{0}=1\\a^{1}=a\\a^{2}=aa\\a^{3}=a(a^2)\\a^{-1}=\frac{1}{a}\\kita\;dapat\;menuliskan\;a^{-n}=(\frac{1}{a})^{n}\;dimana\;n\in{N}\\dan\;a^{n}.a=a^{n+1}\]

Teorema 1

\[jika\;z,a\in{R}\;dengan\;z+a=a\;maka\;z=0\]

Teorema 2

\[jika\;u\;dan\;\;b\neq{0}\;dengan\;u.b=b\;maka\;b=1\]

Teorema 3

\[jika\;a,b,c\in{R}\;dan\;a+b=c,maka\;a=c+(-b)\]

Teorema 4

\[jika\;a\in{R}\;maka\;a.0=0\]

Teorema 5

\[jika\;a\in{R}\;maka\;(-1)a=-a\]

Teorema 6

\[jika\;a,b,c\in{R},\;dan\;a+(-b)=c\;maka\;a=c+b\]

Teorema 7

\[jika\;\forall{a}\in{R},\;\exists{-1}\in{R},maka\;-(-a)=a\]

Teorema 8

\[jika\;\exists{-1}\in{R},maka\;(-1)(-1)=1\]

Teorema 9

\[jika\;a+b=0,maka\;a=-b\]

Teorema 10

\[jika\;a\neq{0}\;dan\;b\in{R}\;sedemikian\;sehingga\;a.b=1\;maka\;b=\frac{1}{a}\]

Teorema 11

\[jika\;a.b=0,\;maka\;a=0\;atau\;b=0\]

Bilangan Rasional dan Irasional

1.Himpunan N dan Z merupakan himpunan bagian dari R
2.Elemen R yang dapat dinyatakan dengan a/b dimana a dan b merupakan bilangan bulat (Z) dan b tidak boleh sama dengan 0 disebut Rasional (Q)
3.Elemen R yang tidak dapat dinyatakan dengan a/b dimana a dan b merupakan bilangan bulat (Z) dan b tidak boleh sama dengan 0 disebut Irasional
4.Bilangan Asli disebut Genap apabila dinyatakan dengan 2n dimana n adalah elemen bilangan asli atau N
5.Bilangan Asli disebut Ganjil apabila dinyatakan dengan 2n-1 dimana n adalah elemen bilangan asli atau N
6.n bilangan asli (N) merupakan kelipatan n dari jumlah satuan elemen 1 bilangan Real(N)
7.0 merupakan bilangan bulat (Z) juga merupakan bilangan Real(R)
8.-n, dimana n bilangan asli (N) merupakan kelipatan n dari jumlah -1 bilangan Real(N)

Teorema 12

\[Buktikan\;r\;dimana\;r^{2}=4\;adalah\;rasional\]

Teorema 13 (Penguatan)

\[Buktikan\;r\;dimana\;r^{2}=\frac{25}{9}\;adalah\;rasional\]

Teorema 14 (Penguatan)

\[Buktikan\;r\;dimana\;r^{2}=2\;adalah\;Irasional\]

Teorema 15 (Penguatan)

\[Buktikan\;r\;dimana\;r^{2}=3\;adalah\;Irasional\]

Sifat-sifat Ururtan Pada Bilangan R

1. a adalah bilangan real positif jika \[a\in{P},\;dituliskan\;a>0\]
2. a adalah bilangan real nonnegatif, jika \[a\in{P\cup\{0\}},\;ditulis\;a\ge{0}\]
3. a bilangan real negatif, jika \[-a\in{P},\;ditulis\;a<0\]
4. a bilanan real nonpositif, jika a bilanan real nonpositif \[-a\in{P\cup\{0\}},\;ditulis\;a\le{0}\]

Diberikan a dan b elemen R
1. \[jika\;a-b\in{P}\;maka\;\;a>b\;atau\;b<a\]
2. \[jika\;a-b\in{P\cup\{0\}}\;maka\;a\ge{b}\;atau\;b\le{a}\]

Teorema 16

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
   

Teorema 17

1. 
2. 
3. 



\[jika\;a\in{R}\;dan\;a\neq{R}\;maka\;a>0\;dan\;a<0\;(Trikotomi\;bilangan)\\jika\;a>0,\;maka\;dapat\;ditulis\;a\in{P}\;(Definisi\;pos\;1.1)\\jika\;a\in{P}\;maka\;a.a\in{P}\;(Sifat\;Perkalian\;positif)\\dimana\;a.a=a^{2}\in{P}\;(Definisi\;perpangkatan)\\Jika\;a<0,\;maka\;dapat\;ditulis\;-a\in{P}\;(Definisi\;pos\;1.3)\\jika\;-a\in{P}\;maka\;(-a)(-a)\in{P}\;(Sifat\;perkalian\;positif)\\(-a)(-a)=(-1)a.(-1)a\in{P}\;(Teorema\;5)\\((-1)(-1))(a.a)\in{P}\;(M1\;dan\;M2)\\1.(a.a)\in{P}\;(Teorema\;8)\\a.a\in{P}\;(M3)\\a.a=a^{2}\in{P}\;(Definisi\;perpangkatan)\\disimpulkan\;bahwa\;a\in{R},\;untuk\;a^{2}\in{P}\;atau\;a^{2}>0(Benar)\]\[Tinggal\;kita\;ganti\;a=1\;(Teorema\;17.a)\\maka\;dihasilkan\;1\in{P}\;(Teorema\;17.a)\\dapat\;dituliskan\;1>0\;(Defini\;pos\;1.1)\;terbukti\]\[Kita\;dapat\;menggunakan\;Induksi\;Matematika\\pertama:\\jika\;n=1\;maka\;1\in{N}\;dan\;1>0\;terbukti\;(Terorema\;17b)\\kedua:\\Jika\;n=k\;dan\;k>0,(Secara\;Hipotesis)\;\;maka\;buktikan\;juga\;n=k+1>0\;adalah\;Benar\\ketiga:\;jika\\n=k+1\;maka\;k+1>0\;karena\;k\;dan\;1>0\;(Teorema\;17b\;dan\;Sifat\;penjumlahan\;positif)\;\]

Teorema 18 

\[jika\;a,b\in{R},\;dan\;a<b\;maka\;a<\frac{a+b}{2}<b\]

\[ketika\;1>0\;(Teorema\;17b)\;maka\;1+1=2>0\;(Sifat\;penjumlahan\;bilangan)\\tentunya\;untuk\;membuktikan\;bahwa\;2>1\;kita\;menggunakan\;sifat\;operasi\\1>0\;dapat\;dituliskan\;1\in{P}(Definisi\;pos.1.1\;dan\;Teorema\;17b)\\1+0\in{P}\;(A3)\;dan\;1+(1+(-1))\in{P}\\(1+1)-1\;(A2\;dan\;Definisi\;pengurangan)\\2-1\in{P}\;(Definisi;kelipatan)\;atau\;2>1\\\\\\jika\;a>0\;maka\;(2-1)a\in{P}\\(Sifat\;penjumlahan\;positif)\;2.a-1.a\in{P}\;(D\;dan\;Definisi\;pengurangan)\\2a-a\in{P}\;(Definisi\;pengalian\;dan\;M3)\\dapat\;dituliskan\;bahwa\;2a>a\;(Definisi\;pos\;2.1)\\2a>a\;memberikan\;penjelasan\;\exists{\frac{1}{2}}>0\;(Teorema\;16e)\;karena\;2>\>0\\kita\;kalikan\;denngan\;(2a-1)\\\frac{1}{2}(2a-a)>0\;(Sifat\;perkalian\;bilangan)\\dengan\;menggunakan\;sifat\;operasi(D,\;M4\;M3\;dan\;Definisi\;Pembagian)\;didapatkan\;(a-\frac{a}{2})>0\\Atau\;a>\frac{a}{2}>0\\demikian\;juga\;berlaku\;jika\;b>0;maka\;b>\frac{b}{2}>0\]\[Jika\;a<b\;maka\;dapat\;dituliskan\;b-a\in{P}\;(Definisi\;pos\;2.1)\\(b+0)+(-a)\in{P}\;(A3\;dan\;Definisi\;pengurangan)\\(b+a+(-a))(-a)\in{P}\;(A4)\\(b+a)+((-a)+(-a))\in{P}\;(A2)\\(b+a)-2a\in{P}\;(Teorema\;5\;dan\;D)\\\frac{1}{2}((b+a)-2a)\in{P}\;(lihat\;catatan)\\\frac{b+a}{2}-a\in{P}\;(D,\;Definisi\;pembagian,\;M4)\\dituliskan\;\frac{b+a}{2}>a\;(Definisi\;pos\;2.1)\\sekarang\;b-a\in{P}=(b+0)-a\in{P}\;(A3)\\(b+(b+(-b))-a\in{P}\;(A4)\\(b+b)+((-b)+(-a))\;(A2\;definisi\;pengurangan)\\2b-(a+b)\in{P}\;(Definisi\;kelipatan,\;Teorema\;5\;Definisi\;pengurangan)\\\frac{1}{2}(2b-(b+a))\;(lihat\;catatan)\\b-\frac{b+a}{2}\in{P}\;(D,\;Definisi\;pembagian,\;dan\;M4)\\data\;dituliskan\;b>\frac{b+a}{2}\;(Definisi\;pos\;2.1)\\Kesimpulannya\;a<\frac{b+a}{2}<b\]

Teorema 19 

\[Jika\;a\in{R}\;sedemikian\;sehingga\;0\le{a}<\varepsilon\;untuk\;setiap\;\varepsilon>0,\;maka\;a=0\]

\[kita\;buat\;kontradiksi\;bahwa\;a>0\\ambil\;sebarang\;\varepsilon_{0}>0\;(hipotesis\;0\;<\;a<\varepsilon)\\karena\;\frac{a}{2}>0\;maka\;kita\;dapat\;menuliskan\;\varepsilon_{0}=\frac{a}{2}\;(Teorema\;16.e\;dan\;teorema\;18)\\akibatnya\;0\;<\varepsilon_{0}<a\;terjadi\;kontradiksi\;dari\;hipotesis\;kesimpulan\;yang\;benar\;bahwa\;a=0\]

Teorema 20 

\[Jika\;ab>0\;maka\;berlaku:\]

1. \[a>0\;dan\;b>0\;atau\]
2. \[a<0\;dan\;b<0\;atau\]

\[untuk\;bagian\;pertama\;sudah\;tebukti\;oleh\;perkalian\;positif\\tinggal\;kita\;buktikan\;untuk\;bagian\;kedua\\jika\;a<0\;maka\;dapat\;dituliskan\;-a\in{p}\;dan\;jika\;b<0\\maka\;dituliskan\;-b\in{p}\;\;(Trikotomi\;bilangan\;real))\\kalikan\;kedua\;bilangan\;(-a)(-b)\in{p}\;(Perkalian\;positif)\\(-1.a)(-1.b)\in{p}\;(teorema\;5)\\(-1)(a.-1).b\in{p}\;(M2)\\(-1)(-1.a)b\in{p}\;(M1)\\((-1).(-1)).ab\in{p}(M2\;dan\;definisi\;perkalian)\\1(ab)\in{p}\;(Teorema\;8)\\ab\in{p}\;(M3)\\atau\;dapat\;ditulis\;ab>0\;(Definisi\;pos\;1.1)\;terbukti\]

Teorema 21

\[Jika\;a\geq{0}\;dan\;b\geq{0}\]

1. \[a<b\leftrightarrow{a^2<b^2}\leftrightarrow{\sqrt{a}<\sqrt{b}}\]
2. \[a\leq{b}\leftrightarrow{a^2\leq{b^2}}\leftrightarrow{\sqrt{a}\leq{\sqrt{b}}}\]